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\def\schrift{11pt}
\input format

\def\baselinestretch{1.1}

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Blatt{4}{WS 2009/2010, 13.11.2009}
         {Mechanik der Kontinua}
         {Prof. J.~L.~van~Hemmen}

\begin{deflist}{20.}

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\item[12.]
{\bf Hydrostatik}
\par\smallskip
\begin{enumerate}
\item Wie lauten die Euler'schen Gleichungen für den hydrostatischen
  Fall ($\vek{v}(\vek{x},t)=\vek{0}$)?
\item Für ein Gas gelte die Zustandsgleichung $T=T(p,\varrho)$, d.h.
  die Temperatur $T$ ist nur abhängig von Druck $p$ und Dichte
  $\varrho$. Zeigen Sie dass, falls die Massenkraftdichte $\vek{f}$
  rotationsfrei ist (\vek{f}=\grad U), die Massenkraftdichte und die
  Dichte-, Druck- und Temperaturgradienten in jedem Punkt parallel
  sind:
  \begin{displaymath}
    \vek{f} \parallel \grad \varrho \parallel \grad p \parallel \grad
    T \,.
  \end{displaymath}
  Hinweis: Bilden Sie dazu $\rot (\varrho \vek{f})$.
\item Man zeige: In einem Gas herrscht im hydrostatischen Fall auf
  Äquipotentialflächen ($U=\mathrm{const.}$) konstanter Druck,
  konstante Dichte und konstante Temperatur. (Was gilt für eine
  inkompressible Flüssigkeit?)
\end{enumerate}


\item[13.]
{\bf Ausströmungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit}
\par\smallskip
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie aus der Euler'schen Gleichung
\begin{displaymath}
  \partial_t \vek{v} + ( \vek{v} \circ \nabla ) \vek{v} = \vek{f} -
  \frac{1}{\varrho} \nabla p
\end{displaymath}
die stationäre Ausströmungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit aus einer
kleinen Öffnung in der Mitte des Bodens eines bis zur Höhe $h$
gefüllten rotationssymmetrischen Gefäßes.
\item Man mache sich klar, dass die kinetische Energie der
  ausströmenden Flüssigkeit dem Verlust an potentieller Energie der
  Flüssigkeit im Gefäß entspricht.
\end{enumerate}


\item[14.]
{\bf Ausströmungsgeschwindigkeit eines Gases}
\par\smallskip
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie aus den Euler'schen Gleichungen die stationäre
  Ausströmungsgeschwindigkeit eines Gases, das aus einem
  rotationssymmetrischen sehr großen Druckbehälter mit Innendruck
  $p_1$ in die Umgebung mit Druck $p_0$ strömt. Dabei gelte die
  Boyle-Mariotte'sche Zustandsgleichung.
\item Man mache sich klar, dass die Energie dabei erhalten bleibt.
%\item Unter Verwendung der Raketengleichung (Endgeschwindigkeit $v$,
%  spezifischer Impuls $v_s$, Gesamtmasse der Rakete $m_{ges}$ , Masse
%  ohne Treibstoff $m_L$)
%  \begin{displaymath}
%    v = v_s \ln\left(\frac{m_{ges}}{m_L}\right)
%  \end{displaymath}
%  und des Ergebnisses von Aufgabe 12 mache man sich Vor- und
%  Nachteile gasgetriebener gegenüber wassergetriebenen Raketen klar.
\end{enumerate}




\par\smallskip
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\end{deflist}
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\vfill 

\footnotesize
\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
Besprechung der Übungen Montags 12-14 PH127, Mittwochs 8.30-10 HS2 und
Donnerstags 10-12 HS3. \\
Übungsleitung: Dr. Moritz Franosch, mail@Franosch.org,
http://www.t35.ph.tum.de.


\end{document}
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