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\def\schrift{11pt}
\input format

\def\baselinestretch{1.1}

\begin{document}

\Blatt{12}{WS 2009/2010, 21.1.2010}
         {Mechanik der Kontinua}
         {Prof. J.~L.~van~Hemmen}

\begin{deflist}{20.}

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\item[31.]{\bf Windkanal}
\par\smallskip
\begin{center}
  \includegraphics[width=13cm]{Windkanal_Zeichnung.pdf}
\end{center}
Windkanäle haben ein Gebläse (Ventilator), welches den Luftstrom
erzeugt. Gleichrichter und Siebeinheit machen die Strömung laminar und
homogen in den relevanten Rohrquerschnitten. In der Messstrecke
befinden sich die zu untersuchenden Objekte. Prinzipiell
unterscheidet man drei Arten, siehe Skizze:
\begin{itemize}
\item A: Freistrahl-Windkanal
\item B: Eiffel-Windkanal
\item C: Windkanal Göttinger Bauart (nach Prandtl; vgl. auch die
  Abbildung in der U-Bahn-Station Garching Forschungsgelände)
\end{itemize}
Rechnen Sie unter Annahme einer inkompressiblen Strömung.
\begin{enumerate}
\item Die Strömungsgeschwindigkeit in der Messstrecke sei $v_M$, der
  Querschnitt der Messstrecke $A_M$. Wenn die Druckdifferenz zwischen
  dem Querschnitt unmittelbar nach und unmittelbar vor dem Gebläse
  $\Delta p$ beträgt, wie hoch ist dann die Leistungsaufnahme des
  Gebläses?
\item Berechnen Sie die Druckdifferenz zwischen dem Querschnitt
  unmittelbar vor und unmittelbar hinter dem Gebläse für alle drei
  Windkanaltypen in Abhängigkeit von $v_M$, $A_M$ und, im Fall C, von
  $A_2$. Der Druckverlust durch die Einbauten in der Messstrecke sei
  $\Delta p_M = a \varrho \frac{v_M^2}{2}$.  Ansonsten kann die
  Strömung \emph{innerhalb der Anordnung} als reibungsfrei, laminar
  und homogen in jedem Querschnitt angenommen werden. Nahmen Sie im
  Fall C an, dass die Strömungsgeschwindigkeit nach dem Gebläse sowie
  beim Eintritt in den Gleichrichter gleich $v$ ist.
\end{enumerate}


\item[32.]{\bf Flüssigkeit zwischen zwei Röhren}
\par\smallskip
\begin{center}
  \includegraphics[width=4cm]{Rohr}
\end{center}
Zwischen zwei kreisförmigen Röhren der Länge $L$ mit Radien $R_1<R_2$
befinde sich eine inkompressible Newton'sche Flüssigkeit mit
kinematischer Viskosität $\nu$, wie in der Skizze. Die Flüssigkeit
wird durch eine Druckdifferenz $\Delta p$ zwischen den Rohrenden
getrieben.

Berechnen Sie das sich im stationären Fall zwischen den Röhren
ausbildende Geschwindigkeits- und Druckfeld. Nehmen Sie eine laminare
Strömung an und vernachlässigen Sie die Schwerkraft.

Hinweis (Herleitung ist nicht verlangt): Die Navier-Stokes-Gleichungen
in (normierten) Zylinderkoordinaten $(r,\varphi,h)$
(Geschwindigkeitsfeld $\vek{v}$, Volumenkräfte \vek{g}, Druck $p$,
kinematische Viskosität~$\nu$) lauten
\begin{eqnarray}
  & & \partial_t \vek{v} + 
  \left( v_r \partial_r + \frac{v_\varphi}{r} \partial_\varphi + v_z
    \partial_z \right)   \left( \begin{array}{c}
      v_r \\
      v_\varphi \\
      v_z
    \end{array} \right) +
  \left( \begin{array}{c}
      - \frac{v_\varphi^2}{r} \\
      \frac{v_r v_\varphi}{r} \\
      0
    \end{array} \right)
  = \nonumber \\ 
  & & =
  \vek{g} -
  \frac{1}{\varrho} 
  \left( \begin{array}{c}
      \partial_{r} \\
      \frac 1{r}\partial_{\varphi} \\
      \partial_{h}
    \end{array}
  \right) p +
  \nu
  \left(
    \begin{array}{c}
      \partial^2_{r}v_{r}+\frac 1 {r^2}\partial_{\varphi}^2v_{r}+\partial_{h}^2v_{r}+\frac 1{r}\partial_{r}v_{r}-\frac 2{r^2}\partial_{\varphi}v_{\varphi}
      -\frac{v_{r}}{r^2}\\
      \partial^2_{r}v_{\varphi}+\frac 1 {r^2}\partial_{\varphi}^2v_{\varphi}+\partial_{h}^2v_{\varphi}+\frac 1{r}\partial_{r}v_{\varphi}+\frac 2{r^2}\partial_{\varphi}v_{r}
      -\frac{v_{\varphi}}{r^2}\\
      \partial^2_{r}v_{h}+\frac 1 {r^2}\partial_{\varphi}^2v_{h}+\partial_{h}^2v_{h}+\frac 1{r}\partial_{r}v_{h}
    \end{array}
  \right) \,,
\end{eqnarray}
die Divergenz lautet 
\begin{equation}
\partial_r v_r + \frac{1}{r} v_r + \frac{1}{r} \partial_\varphi
v_\varphi + \partial_z v_z \,,
\end{equation}



\par\smallskip
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\end{deflist}
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\vfill 

\footnotesize
\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
Besprechung der Übungen Montags 12-14 PH127, Mittwochs 8.30-10 HS2 und
Donnerstags 10-12 HS3. \\
Übungsleitung: Dr. Moritz Franosch, mail@Franosch.org,
http://www.t35.ph.tum.de.



\end{document}
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