%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\schrift{11pt}
\input format

\def\baselinestretch{1.1}

\begin{document}

\Blatt{10}{WS 2009/2010, 17.2.2009}
         {Mechanik der Kontinua}
         {Prof. J.~L.~van~Hemmen}

\begin{deflist}{20.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item[27.]  {\bf Spannungstensor in allgemeinen Koordinaten und in
    Zylinderkoordinaten}
\par\smallskip
\begin{enumerate}
\item Die Kraft auf ein Fluid pro Oberflächeneinheit mit
  Normalenvektor $\vek{n}$ ist bei einem inkompressiblen Newton'schen
  Fluid $\pi \vek{n}$ ist, wobei für den Spannungstensor
  \begin{displaymath}
    \pi_{ij} = - p \, \delta_{ij} + 
    \eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right)
  \end{displaymath}
  gilt.

  Zeigen Sie, dass sich für den Spannungstensor $\pi$ in den
  q-Koordinaten von Aufgabe~27 ergibt:
  \begin{displaymath}
    \pi_{ij}^q = - p \, \mathbb{1} + \eta \left[ \partial q \, [ ( \vek{v}^q \circ \nabla^q ) \, \partial x ] + 
    \left( \frac{\partial v^i}{\partial q_j} \right)_{ij} +
    g^{-1} \, [ ( \vek{v}^q \circ \nabla^q ) \partial x ]^T \, \partial x + 
    g^{-1} \left( \frac{\partial v^i}{\partial q_j} \right)_{ji} \, g \right]
  \end{displaymath}
\item Geben Sie einen Ansatz zur Berechnung des Spannungstensors in
  Zylinderkoordinaten an. \\
  Der Spannungtensor in Zylinderkoordinaten lautet
  \begin{displaymath}
    \pi = 
    \left(
      \begin{array}{ccc}
        -p + \eta 2 \partial_r v^r & \eta ( \partial_\varphi v^r + r^2
        \partial_r v^\varphi ) & \eta ( \partial_h v^r + \partial_r
        v^h ) \\
        \eta ( \partial_r v^\varphi + \frac{1}{r^2} \partial_\varphi
        v^r ) & -p + \eta ( 2 \partial_\varphi v^\varphi + \frac{2}{r}
        v^r ) & \eta ( \partial_h v^\varphi + \frac{1}{r^2}
        \partial_\varphi v^h \\
        \eta ( \partial_r v^h + \partial_h v^r ) & \eta (
        \partial_\varphi v^h + r^2 \partial_h v^\varphi ) & -p \eta 2
        \partial_h v^h
      \end{array}
    \right)
\end{displaymath}
\end{enumerate}


\vfill

\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
{\footnotesize Bitte wenden.}

\newpage 


\item[28.]
{\bf Couette-Strömung}
\par\smallskip
Zwischen einem sehr langen Kreiszylinder mit Radius $R_1$ und einem
hohlen, koaxialen Zylinder mit Innenradius $R_2$ befindet sich eine
viskose Newton'sche Flüssigkeit. Der innere Zylinder rotiert mit der
Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$, der äußere mit $\omega_2$. Die sich
ausbildene Strömung heißt Couette-Strömung.

Hinweis: Verwenden Sie die Navier-Stokes-Gleichung und den
Spannungstensor in Zylinderkoordinaten von den vorhergehenden
Aufgaben. Die Zylinderkoordinaten der vorhergehenden Aufgaben sind
\emph{nicht normierte} Zylinderkoordinaten, zur Berechnung von
Beträgen ist also die Formel $||\vek{f}|| = \vek{f}^T g \vek{f}$ zu
verwenden.

\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie den Geschwindigkeitsverlauf der stationären
  Strömung. Die Volumenkräfte seien vernachlässigbar.
\item Was ergibt sich für $R_1=0$?
\item Was ergibt sich für $\omega_2=0$ und $R_2 \to \infty$?
\item Zur Messung der Zähigkeit einer Flüssigkeit kann man das
  Couette-Viskosimeter verwenden: Der innere Zylinder hängt an einem
  Torsionsfaden und ruht im stationären Fall, der äußere bewegt sich
  mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Anhand der Verdrillung des
  Torsionsfadens wird das auf den inneren Zylinder wirkende Drehmoment
  $M$ gemessen. Berechnen Sie hieraus die Zähigkeit.
\end{enumerate}



\par\smallskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{deflist}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vfill 

\footnotesize
\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
Besprechung der Übungen Montags 12-14 PH127, Mittwochs 8.30-10 HS2 und
Donnerstags 10-12 HS3. \\
Übungsleitung: Dr. Moritz Franosch, mail@Franosch.org,
http://www.t35.ph.tum.de.



\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
