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\def\schrift{12pt}
\input format

\def\baselinestretch{1.1}

\begin{document}

\Blatt{2}{WS 2008/2009, 30.10.2008}
         {Theoretische Biophysik I}
         {Prof. J.~L.~van~Hemmen}

\pagestyle{empty}

\begin{deflist}{20.}

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\item[2.]
{\bf Sterile Insect Release Method SIRM}
\par\smallskip
zur Kontrolle von Schädlingen. Die Fortpflanzung einer Spezies mit
$N(t)$ Individuen kann durch die logistische Gleichung
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t} = \gamma N(t) - k N(t)^2
\end{equation}
beschrieben werden. Nehmen wir an, diese Gleichung gelte für die
Fruchtfliege. Es soll gezeigt werden, unter welchen Bedingungen die
Ausbreitung dieses Schädlings durch Freisetzung steriler Insekten
eingedämmt werden kann.
\begin{deflist}{(0)}
\item[(a)] Das einfachste Modell ist die kontrollierte Aussetzung von
  sterilen Insekten, so dass die Gesamtzahl $n$ der sterilen Insekten
  konstant bleibt.
  \begin{equation}
    \frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t} = \left[ \frac{aN}{N+n} -b
    \right] N - k N (N+n) 
  \end{equation}
  Hierbei sind $a$, $b$ und $k$ zeitlich konstante Parameter.
  \begin{itemize}
  \item Begründen Sie die Terme und Annahmen in diesem Modell.
  \item Welche Zahl an sterilen Insekten muss ausgesetzt werden, um
    die Fruchtfliegenpest zu kontrollieren? Diskutieren Sie hierzu die
    Stabilität der Fixpunkte.
  \end{itemize}
\item[(b)] Jetzt werden alle sterilen Insekten auf einmal
  ausgesetzt. Sie sterben mit der selben Rate wie die fruchtbaren
  Insekten, daher
  \begin{equation}
    \frac{\mathrm{d}n(t)}{\mathrm{d}t} = - b n(t) \,.
  \end{equation}
  Ist es durch einmaliges Aussetzen möglich, die Fruchtfliegenpest
  einzudämmen?
\item[(c)] Jetzt sollen, beispielsweise verursacht durch ein Gift,
  durch Mutation mit Rate $\alpha$ sterile Fliegen entstehen, also
  \begin{equation}
    \frac{\mathrm{d}n(t)}{\mathrm{d}t} = - b n(t) + \alpha N(t)
  \end{equation}
  \begin{itemize}
  \item Bestimmen Sie die Fixpunkte.
  \item Wir groß muss $\alpha$ sein, damit die Fruchtfliegenpest
    ausgemerzt wird?
  \end{itemize}
\end{deflist}




\par\smallskip
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\end{deflist}
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\vfill 

\footnotesize
\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
Besprechung der Übungen am Donnerstag 6.11.2008 um 8.30 Uhr im
Raum PH 227. \\
Übungsleitung: Dr. Moritz Franosch, mail@Franosch.org,
http://www.t35.ph.tum.de.

\end{document}
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