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\def\schrift{11pt}
\input format

\def\baselinestretch{1.1}

\begin{document}

\Blatt{12}{WS 2007/2008, 21.1.2006}
         {Mechanik der Kontinua}
         {Prof. J.~L.~van~Hemmen}

\begin{deflist}{20.}

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\item[34.]{\bf Bewegte Kugel}
\par\smallskip
In einer reibungsfreien, inkompressiblen Flüssigkeit bewegt sich eine
Kugel (Radius $a$) mit Geschwindigkeit $\vek{w}$. Der Mittelpunkt der
Kugel sei gerade am Ursprung. Prüfen Sie nach, dass sich im stationären
Fall in der Flüssigkeit ein Geschwindigkeitsfeld
\begin{equation}
  \vek{v}(\vek{r}) = - \grad \Phi(\vek{r}) \,,
\end{equation}
ausbildet, wobei 
\begin{equation}
  \Phi(\vek{r}) = \frac{a^3}{2 |\vek{r}|^3} \vek{w} \cdot \vek{r} \,.
\end{equation}
Hinweise: Berücksichtigen Sie dabei auch, dass eine Lösung für den
Druck existieren muss. Es ist 
\begin{equation}
  \nabla ( \vek{a} \cdot \vek{b} ) =
  \vek{a} \times (\nabla \times \vek{b}) + \vek{b} \times ( \nabla
  \times \vek{a} ) + (\vek{a} \cdot \nabla) \vek{b} + (\vek{b} \cdot
  \nabla) \vek{a} \,.
\end{equation}


\item[35.]{\bf Visco-Kupplung}
\par\smallskip
Zwei parallele Kreisscheiben (Radius $R$) mit kollinearen Achsen
befinden sich im Abstand $d$ ($d \ll R$). Dazwischen ist ein viskoses
inkompressibles Fluid. Die eine Scheibe rotiert mit
Winkelgeschwindigkeit $\omega$, die andere ruht.
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie das stationäre Geschwindigkeitsfeld im Fluid (ohne
  Gravitation und unter Vernachlässigung von Randeffekten an den
  Rändern der Scheiben).
\item Welches Drehmoment wird auf die rotierende Scheibe ausgeübt?
\end{enumerate}
Hinweis (Herleitung ist nicht verlangt): Die Navier-Stokes-Gleichungen
in (normierten) Zylinderkoordinaten $(r,\varphi,h)$
(Geschwindigkeitsfeld $\vek{v}$, Volumenkräfte \vek{g}, Druck $p$,
kinematische Viskosität~$\nu$) lauten
\begin{eqnarray}
  & & \partial_t \vek{v} + 
  \left( v_r \partial_r + \frac{v_\varphi}{r} \partial_\varphi + v_z
    \partial_z \right)   \left( \begin{array}{c}
      v_r \\
      v_\varphi \\
      v_z
    \end{array} \right) +
  \left( \begin{array}{c}
      - \frac{v_\varphi^2}{r} \\
      \frac{v_r v_\varphi}{r} \\
      0
    \end{array} \right)
  = \nonumber \\ 
  & & =
  \vek{g} -
  \frac{1}{\varrho} 
  \left( \begin{array}{c}
      \partial_{r} \\
      \frac 1{r}\partial_{\varphi} \\
      \partial_{h}
    \end{array}
  \right) p +
  \nu
  \left(
    \begin{array}{c}
      \partial^2_{r}v_{r}+\frac 1 {r^2}\partial_{\varphi}^2v_{r}+\partial_{h}^2v_{r}+\frac 1{r}\partial_{r}v_{r}-\frac 2{r^2}\partial_{\varphi}v_{\varphi}
      -\frac{v_{r}}{r^2}\\
      \partial^2_{r}v_{\varphi}+\frac 1 {r^2}\partial_{\varphi}^2v_{\varphi}+\partial_{h}^2v_{\varphi}+\frac 1{r}\partial_{r}v_{\varphi}+\frac 2{r^2}\partial_{\varphi}v_{r}
      -\frac{v_{\varphi}}{r^2}\\
      \partial^2_{r}v_{h}+\frac 1 {r^2}\partial_{\varphi}^2v_{h}+\partial_{h}^2v_{h}+\frac 1{r}\partial_{r}v_{h}
    \end{array}
  \right) \,,
\end{eqnarray}
die Divergenz lautet 
\begin{equation}
\partial_r v_r + \frac{1}{r} v_r + \frac{1}{r} \partial_\varphi
v_\varphi + \partial_z v_z \,,
\end{equation}
der Spannungstensor (dynamische Viskosität $\eta$) lautet
\begin{equation}
  \pi = 
  \left( \begin{array}{ccc} 
      -p + 2 \eta \partial_r v_r & \eta \left( \frac{1}{r}
        \partial_\varphi v_r + \partial_r v_\varphi - \frac{1}{r}
        v_\varphi \right) & 
        \eta \left( \partial_r v_z + \partial_z v_r \right) \\
      & -p + 2 \eta \left(\frac{1}{r} \partial_\varphi v_\varphi +
      \frac{1}{r} v_r \right) & \eta \left( \partial_z v_\varphi +
      \frac{1}{r} \partial_\varphi v_z \right) \\
      & & -p + 2 \eta \partial_z v_z
    \end{array} \right)
\end{equation}
(nicht angegebene Matrixelemente sind symmetrisch).
% \begin{center}
%   \includegraphics[width=0.4\textwidth]{Zylinderkoordinaten.eps}
% \end{center}


\item[36.]{\bf Hydrodynamisches Paradoxon}
\par\smallskip
\begin{center}
  \input{Hydrodynamisches_Paradoxon.pstex_t} \\
\end{center}
An einer Röhre mit kreisförmigem Querschnitt (Radius $r_0$) ist ein
Kreisring mit Radius $R_0$ befestigt. Durch die Röhre wird Luft mit
der Geschwindigkeit $v_0$ geblasen, die wie eingezeichnet aus der
Röhre in den Spalt zwischen den Kreisringen austritt und an den
Rändern der Ringe in die Atmosphäre entweicht (Atmosphärendruck
$p_a$).  
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie die Kraft auf den unteren Kreisring. Nehmen Sie
  eine stationäre inkompressible reibungsfreie laminare Strömung an
  und vernachlässigen Sie Randeffekte. Nehmen Sie homogene Strömungen
  in den relevanten Querschnitten an.
\item Wird der Ring abgestoßen oder angezogen?
\end{enumerate}






\par\smallskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{deflist}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vfill 

\footnotesize
\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
Besprechung der Übungen am Montag 28.1.2008 um 8.30 Uhr im
Raum PH 3343, um 14.15 Uhr im Raum PH 127 und am Dienstag 29.1.2008
um 9.30 Uhr in HS3. \\
Übungsleitung: Dr. Moritz Franosch, mail@Franosch.org,
http://www.t35.ph.tum.de.


\end{document}
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