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\def\schrift{11pt}
\input format

\def\baselinestretch{1.1}

\begin{document}

\Blatt{10}{WS 2007/2008, 7.1.2008}
         {Mechanik der Kontinua}
         {Prof. J.~L.~van~Hemmen}

\begin{deflist}{20.}

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\item[29.]  {\bf Spannungstensor in allgemeinen Koordinaten und in
    Zylinderkoordinaten}
\par\smallskip
\begin{enumerate}
\item Man mache sich aus der Vorlesung klar, dass die Kraft auf ein
  Fluid pro Oberflächeneinheit mit Normalenvektor $\vek{n}$ bei einem
  inkompressiblen Newton'schen Fluid $\pi \vek{n}$ ist, wobei für den
  Spannungstensor
  \begin{displaymath}
    \pi_{ij} = - p \, \delta_{ij} + 
    \eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right)
  \end{displaymath}
  gilt.
\item 
  % ZU AUFWÄNDIG! NUR ANSATZ HERLEITEN LASSEN, ERGEBNIS IN
  % ZYLINDERKOORDINATEN ANGEBEN
  Zeigen Sie, dass sich für den Spannungstensor $\pi$ in den
  q-Koordinaten von Aufgabe~27 ergibt:
  \begin{displaymath}
    \pi_{ij}^q = - p \, \mathbb{1} + \eta \left[ \partial q \, [ ( \vek{v}^q \circ \nabla^q ) \, \partial x ] + 
    \left( \frac{\partial v^i}{\partial q_j} \right)_{ij} +
    g^{-1} \, [ ( \vek{v}^q \circ \nabla^q ) \partial x ]^T \, \partial x + 
    g^{-1} \left( \frac{\partial v^j}{\partial q_i} \right)^T_{ij} \, g \right]
  \end{displaymath}
\item Wie lautet der Spannungstensor in Zylinderkoordinaten?
\end{enumerate}


\item[30.]
{\bf Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten}
\par\smallskip
Schreiben Sie die Navier-Stokes-Gleichungen für eine inkompressible
Flüssigkeit
\begin{eqnarray*}
  \div \vek{v} & = & 0 \\
  \partial_t \vek{v} + ( \vek{v} \circ \nabla ) \vek{v} & = & \vek{f} -
  \frac{1}{\varrho} \nabla p + \nu \Delta \vek{v}
\end{eqnarray*}
in Zylinderkoordinaten $\vek{v}(r,\varphi,h)=(v^r,v^\varphi,v^h)$,
$\vek{f}(r,\varphi,h)=(f^r,f^\varphi,f^h)$, $\varrho(r,\varphi,h)$,
$p(r,\varphi,h)$ (vgl. Aufgabe 27).
% VEKTOR-LAPLACE NICHT AUSRECHNEN LASSEN, SONDERN NUR ANSATZ BEWEISEN,
% ERGEBNIS IN ZYLINDERKOORDINATEN ANGEBEN.
\\ Hinweis: Verwenden Sie zur Berechnung des Vektor-Laplace-Operators
$\Delta \vek{v}$ in Zylinderkoordinaten ein Computeralgebra-Programm.


\vfill

\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
{\footnotesize Bitte wenden.}

\newpage 


\item[31.]
{\bf Couette-Strömung}
\par\smallskip
Zwischen einem sehr langen Kreiszylinder mit Radius $R_1$ und einem
hohlen, koaxialen Zylinder mit Innenradius $R_2$ befindet sich eine
viskose Newton'sche Flüssigkeit. Der innere Zylinder rotiert mit der
Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$, der äußere mit $\omega_2$. Die sich
ausbildene Strömung heißt Couette-Strömung.
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie den Geschwindigkeitsverlauf der stationären
  Strömung. Die Volumenkräfte seien vernachlässigbar.
\item Was ergibt sich für $R_1=0$?
\item Was ergibt sich für $\omega_2=0$ und $R_2 \to \infty$?
\item Zur Messung der Zähigkeit einer Flüssigkeit kann man das
  Couette-Viskosimeter verwenden: Der innere Zylinder hängt an einem
  Torsionsfaden und ruht im stationären Fall, der äußere bewegt sich
  mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Anhand der Verdrillung des
  Torsionsfadens wird das auf den inneren Zylinder wirkende Drehmoment
  $M$ gemessen. Berechnen Sie hieraus die Zähigkeit.
\end{enumerate}



\par\smallskip
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\end{deflist}
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\vfill 

\footnotesize
\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
Besprechung der Übungen am Montag 14.1.2008 um 8.30 Uhr im
Raum PH 3343, um 14.15 Uhr im Raum PH 127 und am Dienstag 15.1.2008
um 9.30 Uhr in HS3. \\
Übungsleitung: Dr. Moritz Franosch, mail@Franosch.org,
http://www.t35.ph.tum.de.


\end{document}
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