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\def\schrift{11pt}
\input format

\def\baselinestretch{1.1}

\begin{document}

\Blatt{12}{WS 2005/2006, 23.1.2006}
         {Mechanik der Kontinua}
         {Prof. J.~L.~van~Hemmen}

\begin{deflist}{20.}

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\item[34.]
{\bf Hydrodynamik eines Plasmas}
\par\smallskip

\begin{enumerate}
  
\item Plasma heißt der Zustand der Materie, in dem sich geladene
  Teilchen frei bewegen können, z.B. Gase bei Fusionsexperimenten und
  in Quecksilber. Wir benötigen zunächst die hydrodynamischen
  Gleichungen, welche lauten:
\begin{eqnarray}
  \partial_t \varrho_m        & = & -\nabla \circ \left( \varrho_m \mathbf{v} \right)
                  \qquad \mbox{(Kontinuitätsgleichung)} \\
                \varrho_m D_t \mathbf{v} & = & \mathbf{f} - \nabla p
                  \qquad \mbox{(Euler-Gleichung)}\\
  \varrho_m                   & = & \varrho_m(p)
                  \qquad \mbox{(Zustandsgleichung)}  .
\end{eqnarray}
Wir nehmen hier an, dass die Dichte nur vom Druck abhängt und dass die
Temperatur konstant ist. Zeigen Sie, dass gilt
\begin{equation}
 \partial_t \left( \varrho_m \mathbf{v} \right) = \mathbf{f} - \nabla^T \left(
          \varrho_m \mathbf{v}\mathbf{v}^T + p \mathbb{1} \right) ,
\end{equation}
und interpretieren Sie das Resultat.

\item Die elektromagnetischen Gleichungen lauten
\begin{eqnarray}
  \partial_t \mathbf{E}   & = & c \nabla \times \mathbf{B} - \mathbf{j}_e
                  \label{rotation_B} \\
                \partial_t \mathbf{B}   & = & -c \nabla \times \mathbf{E} \\
                \nabla \circ \mathbf{E} & = & \varrho_e \\
                \nabla \circ \mathbf{B} & = & 0 \\
                \mathbf{I}_e & := & \mathbf{j}_e - \varrho_e \mathbf{v} = \sigma \left(
                  \mathbf{E} + c^{-1} \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)
                                \qquad \mbox{(Ohm'sches Gesetz)} \\
                \mathbf{f}              & = & \varrho_e \mathbf{E}
                  + c^{-1} \mathbf{j}_e \times \mathbf{B}
                                \qquad \mbox{(Lorentz-Kraft)} ,
\end{eqnarray}
wobei $\mathbf{E}$ die elektrische Feldstärke, $\mathbf{B}$ die
magnetische Flussdichte, $c$ die Lichtgeschwindigkeit, $\mathbf{j}_e$
die elektrische Stromdichte, $\varrho_e$ die elektrische Ladung und
$\sigma$ die Leitfähigkeit bedeuten. Der durch die Leitfähigkeit
verursachte ohmsche Strom $\mathbf{I}_e$, der gleich dem gesamten
Strom {\em minus} dem durch die Bewegung der Flüssigkeit verursachten
elektrischen Strom ist, proportional zum elektrischen Feld, {\em wie
  es ein mit der Flüssigkeit mitbewegter Beobachter sieht}, daher der
Term $(\mathbf{v} \times \mathbf{B})$.

Zeigen Sie Ladungserhaltung aus den obigen Gleichungen:
\begin{equation}
  \partial_t \varrho_e = -\nabla \circ \mathbf{j}_e
\end{equation}

\item Wir führen nun geeignete Näherungen ein, damit das
  Gleichungssystem einfacher zu lösen ist. Zunächst betrachten wir die
  Rotation von der magnetische Flussdichte $\mathbf{B}$.
  
  Für Prozesse, welche etwa die Zeit $\tau$ benötigen, können wir 
  die Zeitableitung durch
  \begin{equation}
    \partial_t g \approx \tau^{-1}_g g =: \omega_g g .
  \end{equation}
  schätzen. In Plasmen ist die Leitfähigkeit $\sigma$ i.d.R. sehr groß.
  Überlegen Sie sich, warum man bei sich langsam verändernden Feldern
  Gleichung (\ref{rotation_B}) nähern kann durch
  \begin{equation}
    \nabla \times \mathbf{B} = c^{-1} \mathbf{j}_e .
  \end{equation}
  
\item Wir führen nun die {\em magnetische Reynolds-Zahl}
  $\mathcal{R}_M := \frac{\sigma L v}{c^2}$
  ein. Die Länge $L$ ist die charakteristische Länge, unter der sich
  die Systemgrößen wesentlich ändern. Die magnetische Reynolds-Zahl
  ist ein Maß dafür, wie stark die magnetischen Kräfte im Plasma sind.
  In den meisten Plasmen ist $\mathcal{R}_M \gg 1$, was zu zwei
  weiteren Vereinfachungen führt.
  
  Genau so wie bei der Zeitableitung können wir die räumlichen
  Ableitungen unter Verwendung der charakteristischen Länge schätzen:
  \begin{equation}
    \nabla g \approx L^{-1} g .
  \end{equation}
  
  Zeigen Sie, dass bei großer magnetischen Reynolds-Zahl das Ohm'sche
  Gesetz vereinfacht werden kann zu
  \begin{equation}
    \mathbf{j}_e = \sigma \left( \mathbf{E} + c^{-1} \mathbf{v} \times
      \mathbf{B} \right)
  \end{equation}
  
\item und die Lorentzkraft genähert werden kann durch
  \begin{equation}
    \mathbf{f} = c^{-1} \mathbf{j}_e \times \mathbf{B} \,.
  \end{equation}
  
\item Wir haben nun die folgenden Gleichungen abgeleitet, welche das
  System vollständig beschreiben:
  \begin{eqnarray}
    \partial_t \varrho_m & = & -\nabla \circ \left( \varrho_m \mathbf{v} \right) \\
    \partial_t \left( \varrho_m \mathbf{v} \right) & = & c^{-1} \mathbf{j}_e \times \mathbf{B}
    - \nabla^T \left( \varrho_m \mathbf{v} \mathbf{v}^T + p(\varrho_m) \mathbb{1} \right) \\
    \partial_t \mathbf{B} & = & -c \nabla \times \mathbf{E}
    = \nabla \times \left( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)
    + c^2\sigma^{-1} \Delta \mathbf{B} \label{B_evolve} .
  \end{eqnarray}
  Das elektrische Feld sowie elektrische Ladungs- und Stromdichte können
  berechnet werden durch
  \begin{eqnarray}
    \mathbf{E} & = & c\sigma^{-1} \nabla \times \mathbf{B}
    - c^{-1} \mathbf{v}  \times \mathbf{B} \\
    \varrho_e     & = & \nabla \circ \mathbf{E} \\
    \mathbf{j}_e & = & c \nabla \times \mathbf{B} \,.
  \end{eqnarray}
  Die Anfangsbedingungen müssen natürlich $\nabla \circ \mathbf{B} = 0$
  erfüllen. Diese Bedingung bleibt wegen Gleichung (\ref{B_evolve})
  erhalten.

  Zeigen Sie, dass der erste Term auf der rechten Seite von Gleichung
  (\ref{B_evolve}) für $\mathcal{R}_M \gg 1$ dominiert.
  
\item Zeigen Sie, dass der magnetische Fluss durch eine mit dem Plasma mitbewegte
  Oberfläche
  \begin{equation}
    \Phi_M := \int_{S(t)} \mathbf{B} \circ \mathbf{ds} \,.
  \end{equation}
  konstant ist. Die magnetischen Feldlinien sind
  also im Plasma "`eingefroren"'.
  
\item Was passiert mit dem magnetischen Fluss in dem Fall dass der
  \emph{zweite} Term auf der rechten Seite von Gleichung
  (\ref{B_evolve}) dominiert?

\end{enumerate}






\par\smallskip
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\end{deflist}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vfill 

\footnotesize
\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
Besprechung der Übungen am Montag den 6.2.2006 um 14-16 Uhr im
Raum PH 127 (Garching) und am Dienstag, den 7.2.2006 um 9-11 Uhr im
Raum PH HS3 (Garching).\\
Übungsleitung: Moritz Franosch, mail@Franosch.org,
http://www.physik.tu-muenchen.de/lehrstuehle/T35/.


\end{document}
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