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\def\schrift{11pt}
\input format

\def\baselinestretch{1.1}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\Blatt{}{WS 2004/2005, 1.3.2005}
         {Lösung zur Klausur zur \\ Mechanik der Kontinua (Theoretische Physik 4B)}
         {Prof. J.~L.~van~Hemmen}

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\begin{enumerate}


\item{\bf Unterseeboot} \emph{(8 Punkte)}
\par\smallskip
Da Bernoulli nur für stationäre Strömungen gilt, begeben wir uns in
das Bezugssystem des Bootes. Bernoulli zwischen Stagnationspunkt (1)
und Oberfläche (2) (Strömung ist wirbelfrei, Atmosphärendruck $p_0$):
\begin{eqnarray*}
  \frac{v_1^2}{2} + \frac{p_1}{\varrho} + z_1 g & = &
  \frac{v_2^2}{2} + \frac{p_2}{\varrho} + z_2 g \\
  0 + \frac{p_1}{\varrho} - h g & = & \frac{v^2}{2} + \frac{p_0}{\varrho}
  + 0 \\
  p_1 & = & \frac{1}{2} \varrho v^2 + \varrho g h + p_0
\end{eqnarray*}


\item{\bf Potentialströmung} \emph{(10 Punkte)}
\par\smallskip
\begin{enumerate}
\item $F(z)=W'(z)=2z$
\item 
  \begin{eqnarray*}
    v_1(x,y) & = & \Re( F(z) ) = 2x \\
    v_2(x,y) & = & - \Im( F(z) ) = -2y
  \end{eqnarray*}
\item Bei $z=0$, also im Ursprung.
\item 
  \begin{displaymath}
    \Psi(x,y) = \Im(W(z)) = \Im( (x+i y)^2 ) = 2 x y
  \end{displaymath}
\item Stromlinien werden beschrieben durch
  \begin{eqnarray*}
    \Psi(x,y) & = & \lambda \\
    y & = & \frac{\lambda}{2x} \,.
  \end{eqnarray*}
  Es ergeben sich also Hyperbeln.
\item Strömung in einer Ecke. (Die Geschwindigkeit ist parallel zu den
  Wänden.)
\end{enumerate}


\newpage

\item{\bf Gesetz von Archimedes} \emph{(9 Punkte)}
\par\smallskip

\begin{eqnarray*}
  \partial_t \vek{v} + (\vek{v} \cdot \nabla) \vek{v} & = & -
  \frac{1}{\varrho} \nabla p + \vek{g} + \nu \Delta \vek{v} \\
  \vek{g} & = & \frac{1}{\varrho} \nabla p \\
  \nabla \left( \frac{1}{\varrho} p - z g \right) & = & 0 \\
  p & = & - \varrho g z + p_0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
  \vek{F}_i & = & \int\limits_{\partial W} \sum_j \left[
    - p \delta_{ij} + \eta ( \partial_j v_i + \partial_i v_j ) \right]
  n_j \,\mathrm{d}A =
  \int\limits_{\partial W} - p n_i \,\mathrm{d}A \\
  \vek{F} & = & \int\limits_{\partial W} - p \vek{n} \,\mathrm{d}A =
  - \int\limits_W \nabla p \,\mathrm{d}V = \\
  & = & - \int\limits_W \left( 
    \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ -\varrho g
    \end{array} \right) \,\mathrm{d}V = 
  \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ m g
  \end{array} \right) = - \vek{F}_G
\end{eqnarray*}



\item{\bf Strömung über ein Wehr} \emph{(12 Punkte)}
\par\smallskip
\begin{enumerate}
\item 
  Euler:
  \begin{displaymath}
    \partial_t \vek{v} + (\vek{v} \cdot \nabla) \vek{v} = -
    \frac{1}{\varrho} \nabla p + \vek{g} \\
  \end{displaymath}
  \begin{eqnarray*}
    0 & = & \partial_x p \\
    0 & = & \partial_y p
  \end{eqnarray*}
  Somit ist $p=p(z)$.
  \begin{eqnarray*}
    0 & = & - \frac{1}{\varrho} \partial_z p - g \\
    p & = & - \varrho g z + p_0
  \end{eqnarray*}

\item 
  Bernoulli zwischen einem Punkt auf einer Stromlinie weit
  flussaufwärts (Punkt 1, $h_1$ unter der Oberfläche) und oberhalb des
  Wehres (Punkt 2, $h$ oberhalb der Oberkante des Wehres):
  \begin{displaymath}
    \frac{v^2}{2} + \frac{\varrho g h_1 + p_0}{\varrho} - g h_1 = 
    \frac{ v(h)^2 }{2} + \frac{p_0}{\varrho} - g h
  \end{displaymath}
  \begin{displaymath}
    v(h) = \sqrt{ 2 g h + v^2 }
  \end{displaymath}
  Durchfluss:
  \begin{displaymath}
    Q = b \int\limits_0^H v(h) \,\mathrm{d}h = \frac{2b\sqrt{2 g}}{3}
    \left[ \left(H+
      \frac{v^2}{2g}\right)^{3/2} - \left( \frac{v^2}{2g}
    \right)^{3/2} \right]
  \end{displaymath}
\item Mit $Z \to \infty$ ist $v \to 0$, somit $\frac{v^2}{2g} \ll H$,
  also $Q=\frac{2b\sqrt{2 g}}{3} H^{3/2}$.
\end{enumerate}


\item{\bf Massenerhaltung} \emph{(4 Punkte)}
\par\smallskip
\begin{enumerate}
\item Kontinuitätsgleichung: $D_t \varrho = - \varrho \, \div \vek{v}$.
\begin{eqnarray*}
  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int\limits_{W_t} \varrho
  \,\mathrm{d}V & = & 
  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int\limits_{W_0} \varrho J \,\mathrm{d}V = \\
  & = & \int\limits_{W_0} \left[
    ( D_t \varrho ) J + \varrho \partial_t J \right] \,\mathrm{d}V = \\
  & = & \int\limits_{W_0} \left[
    ( D_t \varrho ) J + \varrho (\div \vek{v}) J \right] \,\mathrm{d}V = 0
\end{eqnarray*}
\item Die Masse in einem mit der Flüssigkeit mitbewegten Volumen, d.i.
  die mitbewegte Masse, bleibt erhalten.
\end{enumerate}



\item{\bf Bewegter Zylinder} \emph{(18 Punkte)}
\par\smallskip
\begin{enumerate}
\item Der Ansatz $v_h=v_h(r)$ erfüllt die Kontinuitätsgleichung
  \begin{displaymath}
  \partial_r v_r + \frac{1}{r} v_r + \frac{1}{r} \partial_\varphi v_\varphi
  + \partial_h v_h = 0 \,.
\end{displaymath}  
Aus der Navier-Stokes-Gleichung in Zylinderkoordinaten ergibt sich
\begin{eqnarray*}
  0 & = & \partial_r p \\
  0 & = & \partial_\varphi p \,,
\end{eqnarray*}
somit ist $p=p(h)$. Weiter ist
\begin{eqnarray*}
  0 = - \frac{1}{\varrho} \partial_h p + \nu \left( \partial_{rr} v_h +
  \frac{1}{r} \partial_r v_h \right) \,.
\end{eqnarray*}
Da $v_h=v_h(r)$ ist $\partial_h p$ von $h$ unabhängig, also
\begin{eqnarray*}
  p =  C h + p_0 \,.
\end{eqnarray*}
Wegen der Randbedingung $p=p_0$ am Rohrende ist $C=0$ und $p=p_0$.
Somit:
\begin{displaymath}
  0 = \partial_{rr} v_h + \frac{1}{r} \partial_r v_h
\end{displaymath}
Mit $f:=\partial_r v_h$ ergibt sich
\begin{eqnarray*}
  \frac{f'}{f} & = & - \frac{1}{r} \quad \int \mathrm{d}r \\
  f & = & A r^{-1} \\
  v_h & = & A \ln r + B
\end{eqnarray*}
Randbedingungen: $v_h(R_1)=v$, $v_h(R_2)=0$. Es ergibt sich
\begin{displaymath}
  v_h = v \frac{\ln(R_2/r)}{\ln(R_2/R_1)} \,.
\end{displaymath}

\item 
  \begin{displaymath}
    \frac{\vek{F}}{A} = \pi \vek{n} = \pi \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\
        0 \end{array} \right)
    = \left( \begin{array}{c} -p \\ 0 \\ \eta \partial_r v_h \end{array} \right)
  \end{displaymath}
  \begin{displaymath}
    \frac{F_z}{A} = - \frac{ \eta v}{R_1 \ln(R_2/R_1) }
  \end{displaymath}
  Mit der Zylinderoberfläche $A=2 \pi R_1 L$ ergibt sich
  \begin{displaymath}
    \frac{F_z}{L} = - 2 \pi \eta v \frac{1}{\ln(R_2/R_1)} \,.
  \end{displaymath}
\end{enumerate}


\vspace{3cm}

\begin{center}
  {\bf Die korrigierten Arbeiten sind einzusehen bei Paul
    Friedel, Raum 3023.}
\end{center}



\par\smallskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{enumerate}
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\vfill 

{\footnotesize
\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
Übungsleitung: Moritz Franosch, mail@Franosch.org,
http://www.physik.tu-muenchen.de/lehrstuehle/T35/.}


\end{document}
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