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\def\schrift{11pt}
\input format

\def\baselinestretch{1.1}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\Blatt{}{WS 2004/2005, 17.2.2005}
         {Klausur zur \\ Mechanik der Kontinua (Theoretische Physik 4B)}
         {Prof. J.~L.~van~Hemmen}

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\begin{enumerate}


\item{\bf Unterseeboot} \emph{(8 Punkte)}
\par\smallskip
Ein U-Boot bewegt sich unter der Wasseroberfläche mit Geschwindigkeit
$v$. Der vordere Stagnationspunkt (Staupunkt) der Flüssigkeitsströmung
befinde sich im Abstand $h$ unter der Wasseroberfläche. Berechnen Sie
unter der Annahme eines inkompressiblen und reibungsfreien Fluids und
einer stationären Strömung den Druck auf die Wandung des Boots im
vorderen Stagnationspunkt.


\item{\bf Potentialströmung} \emph{(10 Punkte)}
\par\smallskip
Betrachten Sie das komplexe Strömungspotential
\begin{displaymath}
  W(z) = z^2 \,.
\end{displaymath}
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie das komplexe Geschwindigkeitsfeld $F(z)$.
\item Berechnen Sie das Geschwindigkeitsfeld $\left( v_1(x,y) \atop
    v_2(x,y) \right)$.
\item Wo ist der Staupunkt (Stagnationspunkt)?
\item Berechnen Sie die Stromfunktion.
\item Skizzieren Sie den Verlauf der Stromlinien im ersten Quadranten.
\item Interpretieren Sie die resultierende Strömung.
\end{enumerate}


\item{\bf Gesetz von Archimedes} \emph{(9 Punkte)}
\par\smallskip
Das Archimedes'sche Gesetz vom Auftrieb lautet: In einem homogenen
Schwerefeld ist die statische (Auftriebs-) Kraft, welche ein Körper
erfährt, der sich vollständig in einer (ruhenden) inkompressiblen
Flüssigkeit befindet, gegengleich der Gewichtskraft der vom Körper
verdrängten Flüssigkeit.

Leiten Sie das Archimedes'sche Gesetz aus den
Navier-Stokes-Gleichungen ab.


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\item{\bf Strömung über ein Wehr} \emph{(12 Punkte)}
\par\smallskip
  \begin{center}
    \input{Wehr.pstex_t}
  \end{center}
Über ein rechteckiges Wehr mit Wandhöhe $Z$, Breite $b$, strömt eine
reibungsfreie, inkompressible Flüssigkeit. Die Höhe der
Flüssigkeitsströmung über dem Wehr sei $H$, wie eingezeichnet. Sehr
weit flussaufwärts sei die Strömung parallel und die
Strömungsgeschwindigkeit konstant gleich $v$.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass der Druck weit stromaufwärts gleich dem
  hydrostatischen Druck $p=\varrho g h + p_0$ ist ($h$ ist die Tiefe
  unter der Flüssigkeitsoberfläche, $g$ der Ortsfaktor, $p_0$ der
  Atmosphärendruck).
\item Leiten Sie eine implizite Gleichung für die
  Strömungsgeschwindigkeit $v$ her unter der Annahme, dass die Höhe
  der Flüssigkeit bis zum Wehr konstant $Z+H$ ist und dass sich die
  Flüssigkeit oberhalb des Wehrs nur horizontal und senkrecht zum Wehr
  bewegt. Nehmen Sie an, dass der Druck im ganzen Querschnitt durch
  die ausströmende Flüssigkeit oberhalb des Wehrs gleich dem
  Atmosphärendruck $p_0$ ist.
  
  Hinweis: Es ergibt sich
  \begin{equation}
    (Z+H) \cdot v = \frac{2}{3} \sqrt{2 g} \left[ \left(H+
      \frac{v^2}{2g}\right)^{3/2} - \left( \frac{v^2}{2g}
    \right)^{3/2} \right]
  \end{equation}
\item Berechnen Sie den Durchfluss über das Wehr (Flüssigkeitsvolumen
  pro Zeit) unter der Annahme, $H \ll Z$ ist.
\end{enumerate}


\item{\bf Massenerhaltung} \emph{(4 Punkte)}
\par\smallskip
Sei $\varrho$ die Dichte eines (kompressiblen) Fluids, $\vek{v}$ das
Geschwindigkeitsfeld und $W_t$ ein mitbewegtes Volumen zur Zeit~$t$.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie aus der Kontinuitätsgleichung, dass gilt:
\begin{equation}
  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int\limits_{W_t} \varrho \,\mathrm{d}V = 
  0
\end{equation}
\item Interpretieren Sie obige Identität anschaulich.
\end{enumerate}


\vfill

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{\bf Fortsetzung nächstes Blatt. \hfill Seite 2 von 3}

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\item{\bf Bewegter Zylinder} \emph{(18 Punkte)}
\par\smallskip
  \begin{center}
    \input{Zylinder.pstex_t}
  \end{center}
  Ein sehr langer in $z$-Richtung ausgedehnter voller Kreiszylinder
  (Radius $R_1$) bewegt sich in einem inkompressiblen Newton'schen
  Fluid\footnote{Die Schubspannung ist proportional zur ersten
    Ableitung der Geschwindigkeit.} mit konstanter Geschwindigkeit $v$
  in {$z$-Richtung}. Der Zylinder befindet sich in einem dünnwandigen
  Rohr mit Radius $R_2$. Der Druck am Rohr- und Zylinderende sei
  $p_0$.
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie das stationäre Geschwindigkeitsfeld im Fluid (ohne
  Gravitation und unter Vernachlässigung von Randeffekten an den Enden
  des Zylinders bzw. des Rohres).
\item Welche Widerstandskraft erfährt der Zylinder pro Länge in
  $z$-Richtung?
\end{enumerate}
Hinweis (Herleitung ist nicht verlangt): Die Navier-Stokes-Gleichungen
in (normierten) Zylinderkoordinaten $(r,\varphi,h)$
(Geschwindigkeitsfeld $\vek{v}$, Volumenkräfte \vek{g}, Druck $p$,
kinematische Viskosität~$\nu$) lauten
\begin{eqnarray}
  & & \partial_t \vek{v} + 
  \left( v_r \partial_r + \frac{v_\varphi}{r} \partial_\varphi + v_h
    \partial_h \right)   \left( \begin{array}{c}
      v_r \\
      v_\varphi \\
      v_h
    \end{array} \right) +
  \left( \begin{array}{c}
      - \frac{v_\varphi^2}{r} \\
      \frac{v_r v_\varphi}{r} \\
      0
    \end{array} \right)
  = \nonumber \\ 
  & & =
  \vek{g} -
  \frac{1}{\varrho} 
  \left( \begin{array}{c}
      \partial_{r} \\
      \frac 1{r}\partial_{\varphi} \\
      \partial_{h}
    \end{array}
  \right) p +
  \nu
  \left(
    \begin{array}{c}
      \partial^2_{r}v_{r}+\frac 1 {r^2}\partial_{\varphi}^2v_{r}+\partial_{h}^2v_{r}+\frac 1{r}\partial_{r}v_{r}-\frac 2{r^2}\partial_{\varphi}v_{\varphi}
      -\frac{v_{r}}{r^2}\\
      \partial^2_{r}v_{\varphi}+\frac 1 {r^2}\partial_{\varphi}^2v_{\varphi}+\partial_{h}^2v_{\varphi}+\frac 1{r}\partial_{r}v_{\varphi}+\frac 2{r^2}\partial_{\varphi}v_{r}
      -\frac{v_{\varphi}}{r^2}\\
      \partial^2_{r}v_{h}+\frac 1 {r^2}\partial_{\varphi}^2v_{h}+\partial_{h}^2v_{h}+\frac 1{r}\partial_{r}v_{h}
    \end{array}
  \right) \,,
\end{eqnarray}
die Divergenz lautet 
\begin{equation}
\partial_r v_r + \frac{1}{r} v_r + \frac{1}{r} \partial_\varphi
v_\varphi + \partial_h v_h \,,
\end{equation}
der Spannungstensor (dynamische Viskosität $\eta$) lautet
\begin{equation}
  \pi = 
  \left( \begin{array}{ccc} 
      -p + 2 \eta \partial_r v_r & \eta \left( \frac{1}{r}
        \partial_\varphi v_r + \partial_r v_\varphi - \frac{1}{r}
        v_\varphi \right) & 
        \eta \left( \partial_r v_h + \partial_h v_r \right) \\
      & -p + 2 \eta \left(\frac{1}{r} \partial_\varphi v_\varphi +
      \frac{1}{r} v_r \right) & \eta \left( \partial_h v_\varphi +
      \frac{1}{r} \partial_\varphi v_h \right) \\
      & & -p + 2 \eta \partial_h v_h
    \end{array} \right)
\end{equation}
(nicht angegebene Matrixelemente sind symmetrisch).


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%{\footnotesize Bitte wenden.}

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\par\smallskip
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\end{enumerate}
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\vfill 

{\footnotesize
\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
Übungsleitung: Moritz Franosch, mail@Franosch.org,
http://www.physik.tu-muenchen.de/lehrstuehle/T35/.}

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\end{document}
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