%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\input format

\def\baselinestretch{1.1}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}

\begin{document}

\Blatt{10}{WS 2003/2004, 26.1.2004}
         {Mechanik der Kontinua}
         {Prof. J.~L.~van~Hemmen}

\begin{deflist}{20.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item[21.]
{\bf Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten}
\par\smallskip
Schreiben Sie die Navier-Stokes-Gleichungen für eine inkompressible
Flüssigkeit
\begin{eqnarray*}
  \div \vek{v} & = & 0 \\
  \partial_t \vek{v} + ( \vek{v} \circ \nabla ) \vek{v} & = & \vek{f} -
  \frac{1}{\varrho} \nabla p + \nu \Delta \vek{v}
\end{eqnarray*}
in Zylinderkoordinaten $\vek{v}(r,\varphi,h)=(v^r,v^\varphi,v^h)$,
$\vek{f}(r,\varphi,h)=(f^r,f^\varphi,f^h)$, $\varrho(r,\varphi,h)$,
$p(r,\varphi,h)$ (vgl. Aufgabe 20).


\item[22.]  {\bf Spannungstensor in allgemeinen Koordinaten und in
    Zylinderkoordinaten}
\par\smallskip
\begin{enumerate}
\item Man mache sich aus der Vorlesung klar, dass die Kraft auf ein
  Fluid pro Oberflächeneinheit mit Normalenvektor $\vek{n}$ bei einem
  inkompressiblen Newton'schen Fluid $\pi \vek{n}$ ist, wobei für den
  Spannungstensor
  \begin{displaymath}
    \pi_{ij} = - p \, \delta_{ij} + 
    \eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \right)
  \end{displaymath}
  gilt.
\item Zeigen Sie, dass sich für den Spannungstensor $\pi$ in den
  q-Koordinaten von Aufgabe~20 ergibt:
  \begin{displaymath}
    \pi_{ij}^q = - p \, I + \eta \left[ \partial q \, [ ( \vek{v}^q \circ \nabla^q ) \, \partial x ] + 
    \left( \frac{\partial v^i}{\partial q_j} \right)_{ij} +
    g^{-1} \, [ ( \vek{v}^q \circ \nabla^q ) \partial x ]^T \, \partial x + 
    g^{-1} \left( \frac{\partial v^j}{\partial q_i} \right)^T_{ij} \, g \right]
  \end{displaymath}
\item Wie lautet der Spannungstensor in Zylinderkoordinaten?
\end{enumerate}


\item[23.]
{\bf Flachwasserströmung}
\par\smallskip
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.4\textwidth]{Flachwasserstroemung.eps}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie die Geschwindigkeits- und Druckverteilung der
  stationären Strömung, die sich längs einer schiefen Ebene aufgrund
  der Schwerkraft ausbildet. Die Höhe der Strömung senkrecht zur
  Platte sei $H$, der Neigungswinkel $\alpha$.
\item Welche Kraft wirkt die Wand auf das Fluid aus?
\item Der Volumendurchsatz pro Breite der Strömung sei $\dot{V}/b$.
  Berechnen Sie hieraus die Höhe $H$ der Strömung.
\end{enumerate}


\item[24.]
{\bf Schwingende Platte}
\par\smallskip
Eine sehr große ebene Platte bewege sich mit Amplitude $a$ in ihrer
eigenen Ebene harmonisch mit Kreisfrequenz $\omega$ in einem
inkompressiblen Newton'schen Fluid (kinematische Viskosität $\nu$) hin
und her.  Welche Strömungsgeschwindigkeit $\vek{v}(x,y,z,t)$ bildet
sich im Fluid aus? Die Platte befinde sich in der $x,z$-Ebene und
bewege sich parallel zur $x$-Achse. Vernachlässigen Sie die
Schwerkraft.


\item[25.]
{\bf Allgemeine Lösung der 1-dimensionalen Wellengleichung}
\par\smallskip
Zeigen Sie, dass
\begin{displaymath}
  \eta(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)
\end{displaymath}
die allgemeine Lösung der 1-dimensionalen Wellengleichung
\begin{displaymath}
  \partial_t^2 \eta(x,t) = c^2 \, \partial_x^2 \eta(x,t)
\end{displaymath}
mit $\eta: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ ist, indem Sie zeigen, dass der
Ansatz
\begin{enumerate}
\item eine Lösung der Wellengleichung ist.
\item sich an beliebige Anfangszustände $\eta(x,0)=f_1(x)$ und
  $\partial_t \eta(x,0)=f_2(x)$ anpassen lässt.
\end{enumerate}


\par\smallskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{deflist}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vfill 

\footnotesize
\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
Besprechung der "Ubungen am 2.2.2004 um 14.15 Uhr im Raum PH 127
(Garching).\\
"Ubungsleitung: Moritz Franosch, mail@Franosch.org, http://www.physik.tu-muenchen.de/lehrstuehle/T35/.

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
