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\begin{document}


\thispagestyle{empty}

Physik Department \hfill SoSe 2010 \\
TU München \hfill Übungsblatt 9 \\
Theoretische Physik \hfill 5.7.2010 \\

\vskip 1 truecm                                                  
\centerline{\bf Übung zur theoretischen Physik neuronaler Informationsverarbeitung}
\centerline{(Prof.\ J.\ L.\ van Hemmen)}
\vskip 1 truecm


\begin{Aufgabe}{"`Integrate and fire"' Neuronenmodell}

  Das "`Integrate and fire"' Neuronenmodell eines Neurons mit
  Membranpotential $V(t)$, Zeitkonstante $\tau$ und Input-Strom $I(t)$
  wird beschrieben durch die Modellgleichung
  \begin{equation}
    \label{eq:IF}
    \dot{V}(t) = -\frac{1}{\tau} V(t) + I(t) \,.
  \end{equation}
  Das Neuron mit Schwelle $\vartheta$ erzeugt ein Aktionspotential zum
  Zeitpunkt $t_0$, falls
  \begin{equation}
    V(t_0) = \vartheta \,.
  \end{equation}
  Unmittelbar nach dem Aktionspotential wird das Membranpotential
  wieder auf null zurückgesetzt und der durch Gleichung \eqref{eq:IF}
  beschriebene Prozess startet neu.

  \begin{enumerate}
  \item Berechnen Sie die Raten-Input-Funktion (Rate der
    Aktionspotentiale in Abhängigkeit des Stroms) bei konstantem
    Input-Strom $I_0$.
  \item Berechnen Sie das exzitatorische postsynaptische Potential
    $V(t)$ (EPSP) für einen mit Zeitkonstante $\tau_s$ exponentiell
    abfallenden synaptischen Input-Strom, also
    \begin{equation}
      I(t) = I_0 e^{-t/\tau_s} \,.
    \end{equation}
    für $t \ge 0$, mit Anfangsbedingung $V(0)=0$. Was ergibt sich für
    $\tau_s=\tau$?
  \item Was ist die Lösung von \eqref{eq:IF} für einen pulsförmigen
    Input-Strom $I(t) = \delta(t-t_0)$, $t_0>0$, mit Anfangsbedingung
    $V(0)=0$?
  \item Stellen Sie die Lösung $V(t)=\varepsilon(t)$ von \eqref{eq:IF}
    für einen beliebigen Input-Strom $I(t)=\alpha(t)$, $\alpha(t)=0$
    für $t\le0$, mit
    Anfangsbedingung $V(0)=0$ als Integral dar.
  \item Das Neuron erhalte über Synapsen der Stärke $J_j$ zu den
    Zeiten $t^f_j$ Input-Ströme $J_j \alpha(t-t_j^f)$. Zeigen Sie,
    dass das "`Integrate and fire"' Neuronenmodell ein Spezialfall des
    Spike-Response-Modells ist, indem Sie das Membranpotential $V(t)$ des
    "`Integrate and fire"' Neuronenmodells darstellen durch
    \begin{equation}
      V(t) = \sum_f \eta(t-t^f) + \sum_{j,f} J_j \varepsilon(t-t_j^f) \,.
    \end{equation}
  \end{enumerate}

 
\end{Aufgabe}




\vspace{2\parsep}

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\footnotesize Besprechung der Übungen am Freitag, den 16.7.2009 um
8.30 Uhr im Raum PH 2271 (Garching).

\vspace{1.5\parsep}

Übungsleitung: Moritz Franosch, mail@Franosch.org, http://www.t35.ph.tum.de .


\end{document}
