\input format


\begin{document}


\thispagestyle{empty}

Physik Department \hfill SoSe 2010 \\
TU München \hfill Übungsblatt 5 \\
Theoretische Physik \hfill 8.6.2010 \\

\vskip 1 truecm                                                  
\centerline{\bf Übung zur theoretischen Physik neuronaler Informationsverarbeitung}
\centerline{(Prof.\ J.\ L.\ van Hemmen)}
\vskip 1 truecm


\begin{Aufgabe}{Green'sche Funktionen, lineare "Uberlagerung von EPSPs}

  Gegeben sei die (dimensionslose) Kabelgleichung
  \begin{equation}
    \partial_{{t}} V=\partial_{{x}}^{{2}} V-V+I \label{pdfg}
    \hskip 1truecm
    0<x<L,\,0<t
  \end{equation}
  (Membranspannung $V(x,t)$, Inputstrom $I(x,t)$) mit den 
  Randbedingungen f"ur die Orte $x=0$ und $x=L$ und der Anfangsbedingung f"ur die
  Zeit $t=0$:
  \begin{eqnarray}
    &\alpha_{{1}} V(0,t)+\beta_{{1}}
    \partial_{{x}} V(0,t)=0 \\ \label{rb0}
    &\alpha_{{2}} V(L,t)+\beta_{{2}} \partial_{{x}}
    V(L,t)=0 \\ \label{rbL}
    &V(x,0)=\upsilon(x) \hskip 1truecm 0 \leq x \leq L \,.
  \end{eqnarray}
  Dann ist die Green'sche Funktion $G(x,y,t)$ f"ur Gleichung
  (\ref{pdfg}) mit den Randbedingungen (2) und (3) definiert als die
  L"osung der Gleichung:
  \begin{equation}
    \partial_{{t}} G=\partial_{{x}}^{{2}}
    G-G+\delta(x-y)\,\delta(t) \hskip 
    1truecm 0 \le x \le L,\,0 \le y \le L,\,0 \le t
  \end{equation}
  $G(x,y,t)$ soll hier die gleichen Randbedingungen wie $V(x,t)$ und
  die Anfangsbedingung $G(x,y,t)=0$ für $t<0$ erf"ullen.
  
  Wenn wir nun $G(x,y,t)$ kennen, kann die Membranspannung $V(x,t)$
  f"ur beliebige Str"ome $I(x,t)$ ausgerechnet werden:
  \begin{equation}
    V(x,t)=\int_0^L \, G(x,y,t) \, \upsilon(y) \, dy +
    \int_0^L \!\! \int_0^t G(x,y,t-s) \, I(y,s) \,
    ds \, dy \label{green}
  \end{equation}

  \begin{enumerate}
  \item Zeigen Sie, dass $V(x,t)$ aus (\ref{green}) die
    Randbedingungen und die Anfangsbedingung f"ur $V(x,0)$ erf"ullt.
  \item Zeigen Sie, da"s $V(x,t)$ aus (\ref{green}) die partielle lineare
    Differentialgleichung (\ref{pdfg}) erf"ullt f"ur $t>0$. (Hinweis:
    Zeigen Sie zunächst $\frac{\partial}{\partial t} \int_0^t
    f(s,t)\,ds=f(t,t)+\int_0^t\frac{\partial f(s,t)}{\partial t}\,
    ds$.)
  \item Am Ort einer Synapse $x=0$ kommt jetzt ein Spiketrain an.
    (eine Serie von $N$ Aktionspotentialen zu den Zeiten $t^{f}$,
    $f=1,\dots,N$). Jedes Aktionspotential des Spiketrains l"ost einen
    Strompuls der gleichen Form $I^{f}(0,t)=\alpha(t-t^{f})$ aus. Wie
    sieht der Response auf den Spiketrain an einem festen Ort $x=L$
    (z.B. am Soma) aus?
  \end{enumerate}
  
\end{Aufgabe}



\vspace{2\parsep}

\hrulefill

\footnotesize Besprechung der Übungen am Freitag, den 18.6.2010 um
8.30 Uhr im Raum PH 2271 (Garching).

\vspace{1.5\parsep}

Übungsleitung: Moritz Franosch, mail@Franosch.org, http://www.t35.ph.tum.de .

\end{document}
