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\begin{document}


\thispagestyle{empty}

Physik Department \hfill SoSe 2010 \\
TU München \hfill Übungsblatt 4 \\
Theoretische Physik \hfill 25.5.2010 \\

\vskip 1 truecm                                                  
\centerline{\bf Übung zur theoretischen Physik neuronaler Informationsverarbeitung}
\centerline{(Prof.\ J.\ L.\ van Hemmen)}
\vskip 1 truecm


\begin{Aufgabe}{FitzHugh-Nagumo-Modell (Fortsetzung)}
  Zur Aufgabe von Blatt 3:
  \begin{itemize}
  \item Bestimmen Sie einen Fixpunkt, der instabil ist und um den ein
    Grenzzyklus auftritt. Skizzieren Sie Trajektorien mit
    verschiedenen
    Anfangsbedingungen.\\
    Hinweis: Der Nachweis eines Grenzzyklus gelingt z.B.\ dadurch,
    dass man zeigt:
    \begin{enumerate}
    \item Es gibt ein endliches Gebiet im Phasenraum, aus dem
      Trajektorien nicht ausbrechen k"onnen.
    \item In diesem Gebiet befindet sich genau ein Fixpunkt, welcher
      ein instabiler Knoten oder eine instabile Spirale ist.
    \end{enumerate}
  \item Der Neuronen-Zustand befinde sich f"ur Zeiten $t < 0$ am
    einzigen Fixpunkt $(u,v) = (0,0)$.  Zum Zeitpunkt $t = 0$ werde
    ein kurzer Strompuls der St"arke $\alpha$ gegeben, $I(t) = \alpha
    \, \delta(t)$. Skizzieren Sie Trajektorien f"ur verschiedene
    $\alpha > 0$. Gibt es eine Schwelle f"ur die Spike-Ausl"osung in
    diesem Modell? 
  \end{itemize}
\end{Aufgabe}


\begin{Aufgabe}{Kabelgleichung}

  Die Kabelgleichungen für $C_m=0$ lauten
  \begin{eqnarray}
    \partial_x V(x) & = & - R_i i_\ell(x) \\
    \partial_x i_\ell(x) & = & - \frac{1}{R_m} V(x)
  \end{eqnarray}
  Schreiben Sie dieses Differenzialgleichungssystem erster Ordnung mit
  konstanten Koeffizienten als
  \begin{displaymath}
    \partial_x \vec{y}(x) = A \vec{y}(x) \,,
  \end{displaymath}
  mit $y \in \Bbb{R}^2$ und $A \in \Bbb{R}^{2 \times 2}$.

  Berechnen Sie die allgemeine Lösung.

\end{Aufgabe}



\vspace{2\parsep}

\hrulefill

\textbf{Am Freitag den 4.6.2010 fallen Vorlesung und Übung aus!}
\vspace{1ex}

\footnotesize Besprechung der Übungen am Freitag, den 11.6.2010 um
8.30 Uhr im Raum PH 2271 (Garching).

\vspace{1.5\parsep}

Übungsleitung: Moritz Franosch, mail@Franosch.org, http://www.t35.ph.tum.de .

\end{document}
