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\begin{document}


\thispagestyle{empty}

Physik Department \hfill SoSe 2010 \\
TU München \hfill Übungsblatt 3 \\
Theoretische Physik \hfill 21.5.2010 \\

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\centerline{\bf Übung zur theoretischen Physik neuronaler Informationsverarbeitung}
\centerline{(Prof.\ J.\ L.\ van Hemmen)}
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\begin{Aufgabe}{Stabilität von Fixpunkten}
  Ein System mit Zustand $\vec{x}=(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$
  verhalte sich nach den Differentialgleichungen
  \begin{equation}
    \dot{x}_i(t) = f_i(x_1(t), \dots, x_n(t) ) \,.
  \end{equation}
  Hierbei seinen $f_i: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$, $i=1, \dots, n$,
  stetig differenzierbare Funktionen. Ein Punkt $\vec{x}_0 \in
  \mathbb{R}^n$ heißt Fixpunkt, wenn $f_i(\vec{x}_0)=0$ für $i=1,
  \dots, n$. Ein Fixpunkt heißt (asymptotisch) stabil, wenn sich das
  System nach einer kleinen Auslenkung $\vec{x}(0)$,
  $|\vec{x}(0)-\vec{x}_0| < \delta$, wieder auf den Fixpunkt zu
  bewegt, also $\lim_{t \to \infty} \vec{x}(t) = \vec{x}_0$.
  \begin{enumerate}
  \item Machen Sie sich plausibel, dass ein Fixpunkt jedenfalls dann
    stabil ist, wenn die Realteile der Eigenwerte der Jacobi-Matrix
    $D=(\partial_{x_j} f_i)$ negativ sind.
  \item Zeigen Sie, dass im Spezialfall $n=2$ gilt: Falls die Spur
    $\mathrm{Sp} \,D<0$ und die Determinante $\det D>0$, dann sind
    die Realteile der Eigenwerte von $D$ negativ.
  \end{enumerate}
\end{Aufgabe}


\begin{Aufgabe}{Relaxationszeit}
\item Wie lange dauert es beim FitzHugh-Nagumo-Modell, bis das System
  nach einer Spike-Auslösung wieder in den Ruhezustand zurückkehrt?
  Stellen Sie hierzu die gesuchte "`Relaxationszeit"' als Integral
  dar.
\end{Aufgabe}


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{\footnotesize Bitte wenden.}
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\begin{Aufgabe}{FitzHugh-Nagumo-Modell}
  Das FitzHugh-Nagumo-Modell ist gegen"uber dem Hodgkin-Huxley-Modell
  eine wesentliche Vereinfachung, zeigt aber, abgesehen von beim
  Hodgkin-Huxley-Modell möglichen chaotischen L"osungen, ein
  qualitativ "ahnliches Verhalten. In diesem (dimensionslosen)
  2-Variablen-Modell spielt $u$ die Rolle des Membranpotentials, $v$
  beschreibt den Einfluss der Ionenkan"ale. Die Dynamik ist
  \begin{equation}
    \frac{{\rm d}u}{{\rm d}t} = u (a - u) (u - 1) - v + I =: {\rm f}(u,v) \ , \quad
    \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = b u - \gamma v =: {\rm g}(u,v) \ ,
  \end{equation}
  mit den Parametern $0 < b,\gamma$ sowie $b,\gamma \ll a < 1$. Die
  Größe $I$ beschreibt einen zugef"uhrten Strom.

  Klassifizieren Sie alle auftretenden Fixpunkte nach Stabilit"at und
  Instabilit"at.  Unterscheiden Sie dabei insbesondere verschiedene
  Bereiche des Inputstromes $0 < I = \mbox{const.}$,
  sowie der Systemparameter $b$ und $\gamma$.

  Hinweis: Es erspart Rechenaufwand, die Klassifikation qualitativ
  unter Anschauung der beiden Null-Isoklinen ${\rm f}(u,v) = 0$ und
  ${\rm g}(u,v) = 0$ vorzunehmen.
\end{Aufgabe}




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\footnotesize Besprechung der Übungen am Freitag, den 28.5.2010 um
8.30 Uhr im Raum PH 2271 (Garching).

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Übungsleitung: Moritz Franosch, mail@Franosch.org, http://www.t35.ph.tum.de .


\end{document}
