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\begin{document}


\thispagestyle{empty}

Physik Department \hfill SoSe 2010 \\
TU München \hfill Übungsblatt 1 \\
Theoretische Physik \hfill 26.4.2010 \\

\vskip 1 truecm                                                  
\centerline{\bf Übung zur theoretischen Physik neuronaler Informationsverarbeitung}
\centerline{(Prof.\ J.\ L.\ van Hemmen)}
\vskip 1 truecm




\begin{Aufgabe}{Goldman-Gleichung}
  
  Die Goldman-Gleichung beschreibt das Membranpotential $V_m$ in
  Abhängigkeit von der Temperatur $T$, den Ionenkonzentrationen
  $c_i(\mathrm{X})$ des Ions X innen und $c_a(\mathrm{X})$ außen sowie
  den Permeabilitäten $P_\mathrm{X}$.  Für die Ionen $\mathrm{X} \in
  \{\mathrm{K^+},\mathrm{Na^+},\mathrm{Cl^-}\}$ lautet sie
  \begin{displaymath}
    V_m = \frac{RT}{F} \ln \left[ \frac{
        P_\mathrm{K} c_a(\mathrm{K^+}) +
        P_\mathrm{Na} c_a(\mathrm{Na^+}) +
        P_\mathrm{Cl} c_i(\mathrm{Cl^-}) 
      }{
        P_\mathrm{K} c_i(\mathrm{K^+}) +
        P_\mathrm{Na} c_i(\mathrm{Na^+}) +
        P_\mathrm{Cl} c_a(\mathrm{Cl^-}) 
      }  \right]
  \end{displaymath}
  \begin{itemize}
  \item 
  Zeigen Sie, dass falls $P_\mathrm{K}=P_\mathrm{Cl}$ und
  $P_\mathrm{Na}=0$
  und ein Donnan-Gleichgewicht
  \begin{displaymath}
    \frac{c_a(\mathrm{K^+})}{c_i(\mathrm{K^+})}=\frac{c_i(\mathrm{Cl^-})}{c_a(\mathrm{Cl^-})}
  \end{displaymath}
  vorliegt, das Potential $V_m$ gleich dem Nernst-Potential sowohl für
  $\mathrm{K}^+$ also auch $\mathrm{Cl^-}$ ist.

  \item 
  Was gilt für \emph{beliebige} Permeabilitäten $P_\mathrm{K}$ und
  $P_\mathrm{Cl}$ (wie oben $P_\mathrm{Na}=0$)?
  \end{itemize}

\end{Aufgabe}


\begin{Aufgabe}{Ladung und Konzentration}
  
  Betrachten wir eine Zelle als Kugelkondensator (Radius
  $r=10\,\mathrm{\mu m}$, Membrandicke $d=7\,\mathrm{nm}$, die
  Dielektrizitätskonstante der Membran sei mit $\varepsilon_r=1$
  angenommen).
  
  Die Membranspannung sei zunächst 0. Welche Überschuss-Konzentration
  an (einfach geladenen) $\mathrm{X^-}$-Ionen ist im Inneren
  notwendig, um eine Membran\-spannung $V_m=-70\,\mathrm{mV}$ zu
  erreichen?

\end{Aufgabe}


\begin{Aufgabe}{Donnan-Gleichgewicht}
  
  Eine Zellwand sei nur für $\mathrm{K^+}$ und $\mathrm{Cl^-}$-Ionen
  gleichermaßen und für $\mathrm{Na^+}$ nicht permeabel. Die
  Anfangskonzentrationen im Inneren der Zelle seien
  $c_i(\mathrm{Na^+})=0.05\,\mathrm{\frac{mol}{l}}$,
  $c_i(\mathrm{K^+})=0.1\,\mathrm{\frac{mol}{l}}$ und
  $c_i(\mathrm{Cl^-})=0.15\,\mathrm{\frac{mol}{l}}$, im Außenraum
  $c_a(\mathrm{Na^+})=0.5\,\mathrm{\frac{mol}{l}}$,
  $c_a(\mathrm{K^+})=0.1\,\mathrm{\frac{mol}{l}}$ und
  $c_a(\mathrm{Cl^-})=0.6\,\mathrm{\frac{mol}{l}}$.
  
  Warum ist die Summe der Ladung aller Ionen im Außen- und Innenraum
  jeweils ungefähr gleich 0 (Quasineutralität)?
  
  Berechnen Sie die Gleichgewichtskonzentrationen und das
  Membranpotential, wenn das Zellvolumen sehr viel kleiner als das
  Außenvolumen ist.

\end{Aufgabe}



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\footnotesize Besprechung der Übungen am Freitag, den 7.5.2009 um
8.30 Uhr im Raum PH 2271 (Garching).

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Übungsleitung: Moritz Franosch, mail@Franosch.org, http://www.t35.ph.tum.de .

\end{document}
