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\begin{document}


\thispagestyle{empty}

Physik Department \hfill SoSe 2009 \\
TU München \hfill Übungsblatt 3 \\
Theoretische Physik \hfill 29.5.2009 \\

\vskip 1 truecm                                                  
\centerline{\bf Übung zur theoretischen Physik neuronaler Informationsverarbeitung}
\centerline{(Prof.\ J.\ L.\ van Hemmen)}
\vskip 1 truecm


\begin{Aufgabe}{Stabilität von Fixpunkten}
  Ein System mit Zustand $\vec{x}=(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$
  verhalte sich nach den Differentialgleichungen
  \begin{equation}
    \dot{x}_i(t) = f_i(x_1(t), \dots, x_n(t) ) \,.
  \end{equation}
  Hierbei seinen $f_i: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$, $i=1, \dots, n$,
  stetig differenzierbare Funktionen. Ein Punkt $\vec{x}_0 \in
  \mathbb{R}^n$ heißt Fixpunkt, wenn $f_i(\vec{x}_0)=0$ für $i=1,
  \dots, n$. Ein Fixpunkt heißt (asymptotisch) stabil, wenn sich das
  System nach einer kleinen Auslenkung $\vec{x}(0)$,
  $|\vec{x}(0)-\vec{x}_0| < \delta$, wieder auf den Fixpunkt zu
  bewegt, also $\lim_{t \to \infty} \vec{x}(t) = \vec{x}_0$.
  \begin{enumerate}
  \item Machen Sie sich plausibel, dass ein Fixpunkt jedenfalls dann
    stabil ist, wenn die Realteile der Eigenwerte der Jacobi-Matrix
    $D=(\partial_{x_j} f_i)$ negativ sind.
  \item Zeigen Sie, dass im Spezialfall $n=2$ gilt: Falls die Spur
    $\mathrm{Sp} \,D<0$ und die Determinante $\det D>0$, dann sind
    die Realteile der Eigenwerte von $D$ negativ.
  \end{enumerate}
\end{Aufgabe}


\begin{Aufgabe}{Relaxationszeit}
\item Wie lange dauert es beim FitzHugh-Nagumo-Modell, bis das System
  nach einer Spike-Auslösung wieder in den Ruhezustand zurückkehrt?
  Stellen Sie hierzu die gesuchte "`Relaxationszeit"' als Integral
  dar.
\end{Aufgabe}


\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
{\footnotesize Bitte wenden.}
\newpage 


\begin{Aufgabe}{FitzHugh-Nagumo-Modell}
  Das FitzHugh-Nagumo-Modell ist gegen"uber dem Hodgkin-Huxley-Modell
  eine wesentliche Vereinfachung, zeigt aber, abgesehen von beim Hodgkin-Huxley-Modell möglichen chaotischen L"osungen, ein
  qualitativ "ahnliches Verhalten. In diesem (dimensionslosen)
  2-Variablen-Modell spielt $u$ die Rolle des Membranpotentials, $v$
  beschreibt den Einfluss der Ionenkan"ale. Die Dynamik ist
  \begin{equation}
    \frac{{\rm d}u}{{\rm d}t} = u (a - u) (u - 1) - v + I =: {\rm f}(u,v) \ , \quad
    \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = b u - \gamma v =: {\rm g}(u,v) \ ,
  \end{equation}
  mit den Parametern $0 < b,\gamma$ sowie $b,\gamma \ll a < 1$. Die
  Größe $I$ beschreibt einen zugef"uhrten Strom.
  \begin{enumerate}
  \item Klassifizieren Sie alle auftretenden Fixpunkte nach
    Stabilit"at und Instabilit"at.  Unterscheiden Sie dabei
    insbesondere verschiedene Bereiche des Inputstromes $0 < I =
    \mbox{const.}$,
    sowie der Systemparameter $b$ und $\gamma$.\\
    Hinweis: Es erspart Rechenaufwand, die Klassifikation qualitativ
    unter Anschauung der beiden Null-Isoklinen ${\rm f}(u,v) = 0$ und
    ${\rm g}(u,v) = 0$ vorzunehmen.
  \item Zeigen Sie, dass im Fall genau eines Fixpunkts dieser
    entweder stabil ist oder ein Grenzzyklus auftritt. Skizzieren Sie
    im Falle des Grenzzyklus Trajektorien mit verschiedenen
    Anfangsbedingungen.\\
    Hinweis: Der Nachweis eines Grenzzyklus gelingt z.B.\ dadurch,
    dass man zeigt:
    \begin{enumerate}
    \item Es gibt ein endliches Gebiet im Phasenraum, aus dem
      Trajektorien nicht ausbrechen k"onnen.
    \item In diesem Gebiet befindet sich genau ein Fixpunkt, welcher
      ein instabiler Knoten oder eine instabile Spirale ist.
    \end{enumerate}
  \item Der Neuronen-Zustand befinde sich f"ur Zeiten $t < 0$ am
    einzigen Fixpunkt $(u,v) = (0,0)$.  Zum Zeitpunkt $t = 0$ werde
    ein kurzer Strompuls der St"arke $\alpha$ gegeben, $I(t) = \alpha
    \, \delta(t)$. Skizzieren Sie Trajektorien f"ur verschiedene
    $\alpha > 0$. Gibt es eine Schwelle f"ur die Spike-Ausl"osung in
    diesem Modell? 
  \end{enumerate}
\end{Aufgabe}




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\footnotesize Besprechung der Übungen am Freitag, den 5.6.2009 um
8.45 Uhr im Raum PH 2271 (Garching).

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Übungsleitung: Moritz Franosch, mail@Franosch.org, http://www.t35.ph.tum.de .


\end{document}
