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\begin{document}


\thispagestyle{empty}

Physik Department \hfill SoSe 2007 \\
TU München \hfill Übungsblatt 2 \\
Theoretische Physik \hfill 4.5.2006 \\

\vskip 1 truecm                                                  
\centerline{\bf Übung zur theoretischen Physik neuronaler Informationsverarbeitung}
\centerline{(Prof.\ J.\ L.\ van Hemmen)}
\vskip 1 truecm


\begin{Aufgabe}{Ionenfluss durch eine Membran}

  \begin{enumerate}

  \item Die (molare) Ionenflussdichte durch eine Membran setzt
    sich zusammen aus einem Diffusionsbeitrag (hervorgerufen durch
    einen Konzentrationsgradienten) und einem Beitrag, der durch ein
    elektrisches Feld $E$ in der Membran bestimmt wird. Wir betrachten
    einen eindimensionalen Querschnitt durch die Membran. 
    Hierbei seien: \\
    $z$: Valenz der Ionen\\
    $D$: Diffusionskonstante\\
    $\mu$: Beweglichkeit der Ionen (Geschwindigkeit der Ionen: $v= \mu \frac{z}{|z|}E$)\\
    $\Phi(x,t)$: elektrisches Potenzial am Ort $x$ zur Zeit $t$\\
    $C(x,t)$: (molare) Konzentration der Ionen am Ort $x$ zur Zeit $t$\\
    
    Begr"unden Sie die Gleichung f"ur die molare Ionenflussdichte
    $J(x,t)$ am Ort $x$ zur Zeit~$t$
    \begin{displaymath}
      J(x,t) = -D \frac{\partial C(x,t)}{\partial x}
      -  \mu \frac{z}{|z|} \frac{\partial \Phi(x,t)}{\partial x} C(x,t) \ .
    \end{displaymath}
    Bemerkung: Ist $F$ die Faraday-Konstante, dann hängen nach der
    Einstein-Relation die Diffusionskonstante und die Beweglichkeit
    gem"a"s
    \begin{displaymath}
      D = \frac{RT}{|z| F} \, \mu
    \end{displaymath}
    zusammen.
    
  \item Im stationären Fall ist die Ionenflussdichte eine Konstante:
    $J(x) = J$. (Warum?)  Dasselbe gilt auch f"ur die elektrische
    Stromdichte $j = z F J$. Die Gleichung aus 1. hei"st dann {\em
      (station"are) Nernst-Planck Gleichung}.  Geben Sie ihre
    allgemeine L"osung $C(x)$ an, gegeben $\Phi(x)$.
    
  \item Nehmen wir nun eine Membran der Dicke $\Delta$ an. Gewinnen
    Sie aus der L"osung von 2. einen Ausdruck f"ur die Stromdichte $j$
    in Abh"angigkeit des Spannungsverlaufs $\Phi(x)$ in der Membran,
    der Membranspannung $V_m$ und der Innen- und
    Au"sen-Konzentrationen $C_i$ und $C_a$ der Ionen.
    
\vfill
\rule[.5mm]{\textwidth}{0.1mm}\\
{\footnotesize Bitte wenden.}
\newpage 

  \item Gegeben seien jetzt $n$ Ionensorten derselben Valenz $z$. Ihre
    Diffusionskonstanten seien $D_1,\ldots,D_n$. Ihre Permeabilit"aten
    sind $P_k := D_k/\Delta$ ($k = 1,\ldots,n$).  Berechnen Sie die
    station"are Membranspannung als Funktion der Innen- und
    Au"sen-Konzentrationen und Permeabilit"aten der Ionen.
    (Spezialfall: Bei nur einer Ionensorte ergibt sich das
    Nernst-Potential.)  Welche Annahme fehlt noch, um die
    Goldman-Gleichung herleiten zu k"onnen? Leiten Sie die
    Goldman-Gleichung für $z_k= \pm 1$ her!

  \end{enumerate}

\end{Aufgabe}



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\vspace{1.5\parsep}

\footnotesize Besprechung der Übungen am Freitag, den 11.5.2007 um
9.15 Uhr im Raum PH 2271 (Garching).

\vspace{1.5\parsep}

Übungsleitung: \\
Moritz Franosch, mail@Franosch.org, http://www.physik.tu-muenchen.de/lehrstuehle/T35/.

\end{document}
