\input format


\begin{document}


\thispagestyle{empty}

Physik Department \hfill SoSe 2005 \\
TU München \hfill Übungsblatt 5 \\
Theoretische Physik \hfill 10.6.2005 \\

\vskip 1 truecm                                                  
\centerline{\bf Übung zur theoretischen Physik neuronaler Informationsverarbeitung}
\centerline{(Prof.\ J.\ L.\ van Hemmen)}
\vskip 1 truecm




\begin{Aufgabe}{Eigenschaften der Fundamentallösung der
    Kabelgleichung}
  Die Fundamentallösung der Kabelgleichung lautet
  \begin{equation}
    V_f(x,t) = \frac{ \Theta(t) }{ 2 \sqrt{ \pi t/\tau } \lambda \tau }
    \exp\left[ -t/\tau - \frac{ (x/\lambda)^2 }{4 t/\tau} \right] \,.
  \end{equation}
  Zeigen Sie folgende Eigenschaften der Fundamentallösung:
  \begin{enumerate}
  \item Die Gesamtladung fällt exponentiell ab.
  \item Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Maximums, d.i. der
    betrachtete Ort geteilt durch die Zeit, bis hier die Spannung ihr
    Maximum erreicht, ist $2 \lambda/\tau$ für Zeitpunkte $t \gg
    \tau$.
  \item $\lim_{t\to 0+} V_f(x,t) = \frac{1}{\tau} \delta(x)$
  \end{enumerate}
\end{Aufgabe}


\begin{Aufgabe}{FitzHugh-Nagumo-Modell}
  Das FitzHugh-Nagumo-Modell ist gegen"uber dem Hodgkin-Huxley-Modell
  eine wesentliche Vereinfachung, zeigt aber, abgesehen von
  chaotischen L"osungen, ein qualitativ "ahnliches Verhalten. In
  diesem (dimensionslosen) 2-Variablen-Modell spielt $u$ die Rolle des
  Membranpotentials, $v$ beschreibt den Einfluss der Ionenkan"ale. Die
  Dynamik ist
  \begin{equation}
    \frac{{\rm d}u}{{\rm d}t} = u (a - u) (u - 1) - v + I =: {\rm f}(u,v) \ , \quad
    \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = b u - \gamma v =: {\rm g}(u,v) \ ,
  \end{equation}
  mit den Parametern $0 < b,\gamma$ sowie $b,\gamma \ll a < 1$. Die
  Größe $I$ beschreibt einen zugef"uhrten Strom.
  \begin{enumerate}
  \item Klassifizieren Sie alle auftretenden Fixpunkte nach
    Stabilit"at und Instabilit"at.  Unterscheiden Sie dabei
    insbesondere verschiedene Bereiche des Inputstromes $0 < I =
    \mbox{const.}$,
    sowie der Systemparameter $b$ und $\gamma$.\\
    Hinweis: Es erspart Rechenaufwand, die Klassifikation qualitativ
    unter Anschauung der beiden Null-Isoklinen ${\rm f}(u,v) = 0$ und
    ${\rm g}(u,v) = 0$ vorzunehmen.
  \item Zeigen Sie, dass im Fall genau eines Fixpunkts dieser
    entweder stabil ist oder ein Grenzzyklus auftritt. Skizzieren Sie
    im Falle des Grenzzyklus Trajektorien mit verschiedenen
    Anfangsbedingungen.\\
    Hinweis: Der Nachweis eines Grenzzyklus gelingt z.B.\ dadurch,
    dass man zeigt:
    \begin{enumerate}
    \item Es gibt ein endliches Gebiet im Phasenraum, aus dem
      Trajektorien nicht ausbrechen k"onnen.
    \item In diesem Gebiet befindet sich genau ein Fixpunkt, welcher
      ein instabiler Knoten oder eine instabile Spirale ist.
    \end{enumerate}
  \item Der Neuronen-Zustand befinde sich f"ur Zeiten $t < 0$ am
    einzigen Fixpunkt $(u,v) = (0,0)$.  Zum Zeitpunkt $t = 0$ werde
    ein kurzer Strompuls der St"arke $\alpha$ gegeben, $I(t) = \alpha
    \, \delta(t)$. Skizzieren Sie Trajektorien f"ur verschiedene
    $\alpha > 0$. Gibt es eine Schwelle f"ur die Spike-Ausl"osung in
    diesem Modell?
  \end{enumerate}
\end{Aufgabe}



\vspace{2\parsep}

\hrulefill

\vspace{1.5\parsep}

\footnotesize Besprechung der Übungen am Freitag, den 24.6.2005 um
9.15 Uhr im Seminarraum 3024 von E22 (Garching).

\vspace{1.5\parsep}

Übungsleitung: \\
Moritz Franosch, mail@Franosch.org, http://www.physik.tu-muenchen.de/lehrstuehle/T35/.

\end{document}
