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\newcounter{AufgNr}

\def\theAufgNr{\arabic{AufgNr}}

\newenvironment{Einrueckung}{
  \begin{list}{}{
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    \item[] }{
  \end{list} }


\newenvironment{Aufgabe}[1]{
  \vspace{\topsep} \refstepcounter{AufgNr} {\bf Aufgabe \theAufgNr: #1}
  \vspace{\topsep}
  \begin{Einrueckung}
}{
  \end{Einrueckung}
  \vspace{\topsep}
}





\begin{document}


\thispagestyle{empty}

Physik Department \hfill SoSe 2003 \\
TU München \hfill Übungsblatt 1 \\
Theoretische Physik \hfill \today \\

\vskip 1 truecm                                                  
\centerline{\bf Übung zur theoretischen Physik neuronaler Informationsverarbeitung}
\centerline{(Prof.\ J.\ L.\ van Hemmen)}
\vskip 1 truecm




\begin{Aufgabe}{Goldman-Gleichung}
  
  Die Goldman-Gleichung beschreibt das Membranpotential $V_m$ in
  Abhängigkeit von der Temperatur $T$, den Ionenkonzentrationen
  $c_i(\mathrm{X})$ des Ions X innen und $c_a(\mathrm{X})$ außen sowie
  den Permeabilitäten $P_\mathrm{X}$.  Für die Ionen $\mathrm{X} \in
  \{\mathrm{K^+},\mathrm{Na^+},\mathrm{Cl^-}\}$ lautet sie
  \begin{displaymath}
    V_m = \frac{RT}{F} \ln \left[ \frac{
        P_\mathrm{K} c_a(\mathrm{K^+}) +
        P_\mathrm{Na} c_a(\mathrm{Na^+}) +
        P_\mathrm{Cl} c_i(\mathrm{Cl^-}) 
      }{
        P_\mathrm{K} c_i(\mathrm{K^+}) +
        P_\mathrm{Na} c_i(\mathrm{Na^+}) +
        P_\mathrm{Cl} c_a(\mathrm{Cl^-}) 
      }  \right]
  \end{displaymath}
  Zeige, dass falls $P_\mathrm{K}=P_\mathrm{Cl}$ und $P_\mathrm{Na}=0$
  und ein Donnan-Gleichgewicht
  \begin{displaymath}
    \frac{c_a(\mathrm{K^+})}{c_i(\mathrm{K^+})}=\frac{c_i(\mathrm{Cl^-})}{c_a(\mathrm{Cl^-})}
  \end{displaymath}
  vorliegt, das Potential $V_m$ gleich dem Nernst-Potential sowohl für
  $\mathrm{K}^+$ also auch $\mathrm{Cl^-}$ ist.

\end{Aufgabe}


\begin{Aufgabe}{Ladung und Konzentration}
  
  Betrachten wir eine Zelle als Kugelkondensator (Radius
  $r=10\,\mathrm{\mu m}$, Membrandicke $d=7\,\mathrm{nm}$, die
  Dielektrizitätskonstante der Membran sei mit $\varepsilon_r=1$
  angenommen).
  
  Die Membranspannung sei zunächst 0. Welche Überschuss-Konzentration
  an (einfach geladenen) $\mathrm{X^-}$-Ionen ist im Inneren
  notwendig, um eine Membranspannung $V_m=-70\,\mathrm{mV}$ zu
  erreichen?

\end{Aufgabe}


\begin{Aufgabe}{Donnan-Gleichgewicht}
  
  Eine Zellwand sei nur für $\mathrm{K^+}$ und $\mathrm{Cl^-}$-Ionen
  gleichermaßen permeabel. Die Anfangskonzentrationen im Inneren der
  Zelle seien $c_i(\mathrm{Na^+})=0.05\,\mathrm{\frac{mol}{l}}$,
  $c_i(\mathrm{K^+})=0.1\,\mathrm{\frac{mol}{l}}$ und
  $c_i(\mathrm{Cl^-})=0.15\,\mathrm{\frac{mol}{l}}$, im Außenraum
  $c_a(\mathrm{Na^+})=0.5\,\mathrm{\frac{mol}{l}}$,
  $c_a(\mathrm{K^+})=0.1\,\mathrm{\frac{mol}{l}}$ und
  $c_a(\mathrm{Cl^-})=0.6\,\mathrm{\frac{mol}{l}}$.
  
  Warum ist die Summe der Ladung aller Ionen im Außen- und Innenraum
  jeweils ungefähr gleich 0 (Quasineutralität)?
  
  Berechne die Gleichgewichtskonzentrationen und das Membranpotential,
  wenn das Zellvolumen sehr viel kleiner als das Außenvolumen ist.

\end{Aufgabe}


\vfill

Bitte wenden.
\clearpage



\begin{Aufgabe}{Kabelgleichung}

  Die Kabelgleichungen für $C_m=0$ lauten
  \begin{eqnarray}
    \partial_x V(x) & = & - R_i i_\ell(x) \\
    \partial_x i_\ell(x) & = & - \frac{1}{R_m} V(x)
  \end{eqnarray}
  Schreibe dieses Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit
  konstanten Koeffizienten als
  \begin{displaymath}
    \partial_x \vec{y}(x) = A \vec{y}(x) \,,
  \end{displaymath}
  mit $y \in \Bbb{R}^2$ und $A \in \Bbb{R}^{2 \times 2}$.

  Berechne die allgemeine Lösung.

\end{Aufgabe}



\vspace{2\parsep}

\hrulefill

\vspace{1.5\parsep}

Besprechung: Freitag 16.5.2003, 11.15 Uhr, Raum PH 127 Garching

\vspace{1.5\parsep}

Übungsleitung: \\
Moritz Franosch, Raum 3029, Tel. 289-12194, E-Mail Jan-Moritz.Franosch@ph.tum.de

\end{document}
